Вопрос влияет ли верстка, дизайн сайта, css стили на продвижение в seo?

С недавних пор да, влияет. При заходе с планшетов / смартфонов поисковики в первую очередь показывают сайты, адаптированные для мобильных устройств. Десктопов это не касается.

Не особо. Про мобильные - тоже всё относительно, потому что сами мобильные адаптировались под сайты быстрее, чем сайты под мобильные. В основном упор как и раньше - НА ТЕКСТЫ. А там хоть и вообще без дизайна обойдись, возьми готовый шаблон и делай. Все SEOшники так делают. И ничто не мешает взять шаблон, адаптированный под мобильные.